2024年云南單招理科數(shù)學(xué)模擬試題（一）「含答案」

2024-11-05 12:56:36 發(fā)布在云南單招

2020年云南單招理科數(shù)學(xué)模擬試題（一）【含答案】　

一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）

1．已知集合S={1，2}，設(shè)S的真子集有m個(gè)，則m=（　?。?/p>

A．4B．3C．2D．1

2．已知i為虛數(shù)單位，則

的共軛復(fù)數(shù)為（　　）

A．﹣

iB．

iC．﹣

﹣

iD．

﹣

3．已知

、

是平面向量，如果|

|=3，|

|=4，|

|=2，那么|

﹣

|=（　?。?/p>

A．

B．7C．5D．

4．在（x﹣

）10的二項(xiàng)展開式中，x4的系數(shù)等于（　　）

A．﹣120B．﹣60C．60D．120

5．已知a，b，c，d都是常數(shù)，a＞b，c＞d，若f（x）=2019﹣（x﹣a）（x﹣b）的零點(diǎn)為c，d，則下列不等式正確的是（　?。?/p>

A．a(chǎn)＞c＞b＞dB．a(chǎn)＞b＞c＞dC．c＞d＞a＞bD．c＞a＞b＞d

6．公元263年左右，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽用圓內(nèi)接正多邊形的面積去逼近圓的面積求圓周率π，他從圓內(nèi)接正六邊形算起，令邊數(shù)一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐個(gè)算出正六邊形，正十二邊形，正二十四邊形，…，正一百九十二邊形，…的面積，這些數(shù)值逐步地逼近圓面積，劉徽算到了正一百九十二邊形，這時(shí)候π的近似值是3.141024，劉徽稱這個(gè)方法為“割圓術(shù)”，并且把“割圓術(shù)”的特點(diǎn)概括為“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”．劉徽這種想法的可貴之處在于用已知的、可求的來逼近未知的、要求的，用有限來逼近無窮，這種思想及其重要，對(duì)后世產(chǎn)生了巨大影響，如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖，若運(yùn)行改程序（參考數(shù)據(jù)：

≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），則輸出n的值為（　?。?/p>

A．48B．36C．30D．24

7．在平面區(qū)域

內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)（a，b），則函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率為（　?。?/p>

A．

B．

C．

D．

8．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面積為1+

．則b的最小值為（　　）

A．2B．3C．

D．

9．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（　?。?p align="center">

A．12B．18C．24D．30

#p#分頁標(biāo)題#e#

10．已知常數(shù)ω＞0，f（x）=﹣1+2

sinωxcosωx+2cos2ωx圖象的對(duì)稱中心得到對(duì)稱軸的距離的最小值為

，若f（x0）=

，

≤x0≤

，則cos2x0=（　　）

A．

B．

C．

D．

11．已知三棱錐P﹣ABC的所有頂點(diǎn)都在表面積為16π的球O的球面上，AC為球O的直徑，當(dāng)三棱錐P﹣ABC的體積最大時(shí)，設(shè)二面角P﹣AB﹣C的大小為θ，則sinθ=（　　）

A．

B．

C．

D．

12．拋物線M的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，拋物線M的焦點(diǎn)F在x軸正半軸上，拋物線M的準(zhǔn)線與曲線x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)A是拋物線M上的一點(diǎn)，若

=﹣4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（　?。?/p>

A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2）D．（1，﹣2）

二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）

13．某校1000名高三學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)考試，這次考試考生的分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布N（90，σ2），若分?jǐn)?shù)在（70，110]內(nèi)的概率為0.7，估計(jì)這次考試分?jǐn)?shù)不超過70分的人數(shù)為　　人．

14．過雙曲線

﹣

=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|≥

|CD|，則雙曲線離心率的取值范圍為　　．

15．計(jì)算

=　?。ㄓ脭?shù)字作答）

16．已知f（x）=

，若f（x﹣1）＜f（2x+1），則x的取值范圍為　?。?/p>

三、解答題（共5小題，滿分60分）

17．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=2anSn﹣2Sn2．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在正數(shù)k，使（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k

對(duì)一切正整數(shù)n都成立？若存在，求k的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由．

18．云南省2020年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試的原始成績采用百分制，發(fā)布成績使用等級(jí)制，各登記劃分標(biāo)準(zhǔn)為：85分及以上，記為A等，分?jǐn)?shù)在[70，85）內(nèi)，記為B等，分?jǐn)?shù)在[60，70）內(nèi)，記為C等，60分以下，記為D等，同時(shí)認(rèn)定等級(jí)分別為A，B，C都為合格，等級(jí)為D為不合格．

已知甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的原始成績均分布在[50，100]內(nèi)，為了比較兩校學(xué)生的成績，分別抽取50名學(xué)生的原始成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分別作出甲校如圖1所示樣本頻率分布直方圖，乙校如圖2所示樣本中等級(jí)為C、D的所有數(shù)據(jù)莖葉圖．

（1）求圖中x的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)比較甲乙兩校的合格率；

（2）在選取的樣本中，從甲、乙兩校C等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，用X表示所抽取的3名學(xué)生中甲校的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

19．如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中點(diǎn)，AB=1，BC=2．

（1）求證：AM⊥SD；

（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值為

，求四棱錐S﹣ABCD的體積．

#p#分頁標(biāo)題#e#

20．已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在y軸上，離心率等于

，P是橢圓E上的點(diǎn)，以線段PF1為直徑的圓經(jīng)過F2，且9

=1．

（1）求橢圓E的方程；

（2）做直線l與橢圓E交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N，如果線段MN被直線2x+1=0平分，求l的傾斜角的取值范圍．

21．已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，實(shí)數(shù)a是常數(shù)，函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣1的定義域?yàn)椋?，+∞）．

（1）設(shè)a=e，求函數(shù)f（x）在切點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；

（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（3）設(shè)g（x）=ln（ex+

x3﹣1）﹣lnx，若?x＞0，f（g（x））＜f（x），求a的取值范圍．

[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講]

22．已知直線L的參數(shù)方程為

（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=

．

（Ⅰ）直接寫出直線L的極坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；

（Ⅱ）過曲線C上任意一點(diǎn)P作與L夾角為

的直線l，設(shè)直線l與直線L的交點(diǎn)為A，求|PA|的最大值．

[選修4-5：不等式選講]

23．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R．

（Ⅰ）當(dāng)a=5時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）＞9；

（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集為A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

2020年云南單招理科數(shù)學(xué)模擬試題（一）參考答案　

一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）

1．已知集合S={1，2}，設(shè)S的真子集有m個(gè)，則m=（　?。?/p>

A．4B．3C．2D．1

【考點(diǎn)】子集與真子集．

【分析】若集合A有n個(gè)元素，則集合A有2n﹣1個(gè)真子集．

【解答】解：∵集合S={1，2}，

∴S的真子集的個(gè)數(shù)為：22﹣1=3．

故選：B．

2．已知i為虛數(shù)單位，則

的共軛復(fù)數(shù)為（　　）

A．﹣

iB．

iC．﹣

﹣

iD．

﹣

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．

【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．

【解答】解：∵

，

∴

的共軛復(fù)數(shù)為

．

故選：C．

3．已知

、

是平面向量，如果|

|=3，|

|=4，|

|=2，那么|

﹣

|=（　?。?/p> #p#分頁標(biāo)題#e#

A．

B．7C．5D．

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．

【分析】根據(jù)條件對(duì)

兩邊平方，從而可求出

，這樣即可求出

的值，進(jìn)而求出

的值．

【解答】解：根據(jù)條件：

=4；

∴

；

∴

=9﹣（﹣21）+16

=46；

∴

．

故選：A．

4．在（x﹣

）10的二項(xiàng)展開式中，x4的系數(shù)等于（　?。?/p>

A．﹣120B．﹣60C．60D．120

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．

【分析】利用通項(xiàng)公式即可得出．

【解答】解：通項(xiàng)公式Tr+1=

=（﹣1）r

x10﹣2r，

令10﹣2r=4，解得r=3．

∴x4的系數(shù)等于﹣

=﹣120．

故選：A

5．已知a，b，c，d都是常數(shù)，a＞b，c＞d，若f（x）=2019﹣（x﹣a）（x﹣b）的零點(diǎn)為c，d，則下列不等式正確的是（　?。?/p>

A．a(chǎn)＞c＞b＞dB．a(chǎn)＞b＞c＞dC．c＞d＞a＞bD．c＞a＞b＞d

【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)．

【分析】由題意設(shè)g（x）=（x﹣a）（x﹣b），則f（x）=2019﹣g（x），由函數(shù)零點(diǎn)的定義求出對(duì)應(yīng)方程的根，畫出g（x）和直線y=2019的大致圖象，由條件和圖象判斷出大小關(guān)系．

【解答】解：由題意設(shè)g（x）=（x﹣a）（x﹣b），則f（x）=2019﹣g（x），

所以g（x）=0的兩個(gè)根是a、b，

由題意知：f（x）=0的兩根c，d，

也就是g（x）=2019的兩根，

畫出g（x）（開口向上）以及直線y=2019的大致圖象，

則與f（x）交點(diǎn)橫坐標(biāo)就是c，d，

f（x）與x軸交點(diǎn)就是a，b，

又a＞b，c＞d，則c，d在a，b外，

由圖得，c＞a＞b＞d，

故選D．

≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305），則輸出n的值為（　?。?/p>

A．48B．36C．30D．24

【考點(diǎn)】程序框圖．

【分析】列出循環(huán)過程中S與n的數(shù)值，滿足判斷框的條件即可結(jié)束循環(huán)．

【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得：

n=6，S=3sin60°=

，

不滿足條件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，

不滿足條件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，

滿足條件S≥3.10，退出循環(huán)，輸出n的值為24．

故選：D．

#p#分頁標(biāo)題#e#

7．在平面區(qū)域

內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)（a，b），則函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率為（　?。?/p>

A．

B．

C．

D．

【考點(diǎn)】幾何概型．

【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)概率的幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論．

【解答】解：作出不等式組

對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

對(duì)應(yīng)的圖形為△OAB，其中對(duì)應(yīng)面積為S=

×4×4=8，

若f（x）=ax2﹣4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，

則滿足a＞0且對(duì)稱軸x=﹣

≤1，

即

，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)椤鱋BC，

由

，

解得

，

∴對(duì)應(yīng)的面積為S1=

×4=

，

∴根據(jù)幾何概型的概率公式可知所求的概率為

，

故選：B．

8．已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．若a=bcosC+csinB，且△ABC的面積為1+

．則b的最小值為（　　）

A．2B．3C．

D．

【考點(diǎn)】正弦定理；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．

【分析】已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，求出tanB的值，確定出B的度數(shù)，利用三角形面積公式求出ac的值，利用余弦定理，基本不等式可求b的最小值．

【解答】解：由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，

∵在△ABC中，sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），

∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，

∴cosBsinC=sinCsinB，

∵C∈（0，π），sinC≠0，

∴cosB=sinB，即tanB=1，

∵B∈（0，π），

∴B=

，

∵S△ABC=

acsinB=

ac=1+

，

∴ac=4+2

，

由余弦定理得到：b2=a2+c2﹣2accosB，即b2=a2+c2﹣

ac≥2ac﹣

ac=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取“=”，

∴b的最小值為2．

故選：A．

9．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（　?。?p align="center">

A．12B．18C．24D．30

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．

【分析】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐，切去一個(gè)三棱錐所得的組合體，進(jìn)而得到答案．

【解答】解：由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐，切去一個(gè)三棱錐所得的組合體，

其底面面積S=

×3×4=6，

棱柱的高為：5，棱錐的高為3，

故組合體的體積V=6×5﹣

×6×3=24，

故選：C

#p#分頁標(biāo)題#e#

10．已知常數(shù)ω＞0，f（x）=﹣1+2

sinωxcosωx+2cos2ωx圖象的對(duì)稱中心得到對(duì)稱軸的距離的最小值為

，若f（x0）=

，

≤x0≤

，則cos2x0=（　?。?/p>

A．

B．

C．

D．

【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．

【分析】將函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)成只有一個(gè)函數(shù)名，對(duì)稱中心得到對(duì)稱軸的距離的最小值為

，可得T=π．根據(jù)f（x0）=

，

≤x0≤

，求出x0，可得cos2x0的值．

【解答】解：由f（x）=﹣1+2

sinωxcosωx+2cos2ωx，

化簡(jiǎn)可得：f（x）=

sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+

）

∵對(duì)稱中心得到對(duì)稱軸的距離的最小值為

，

∴T=π．

由

，

可得：ω=1．

f（x0）=

，即2sin（2x0+

）=

∵

≤x0≤

，

∴

≤2x0+

≤

∴sin（2x0+

）=

＞0

∴cos（2x0+

）=

．

那么：cos2x0=cos（2x0+

﹣

）=cos（2x0+

）cos

+sin（2x0+

）sin

故選D

#p#分頁標(biāo)題#e#

11．已知三棱錐P﹣ABC的所有頂點(diǎn)都在表面積為16π的球O的球面上，AC為球O的直徑，當(dāng)三棱錐P﹣ABC的體積最大時(shí)，設(shè)二面角P﹣AB﹣C的大小為θ，則sinθ=（　?。?/p>

A．

B．

C．

D．

【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法．

【分析】AC為球O的直徑，當(dāng)三棱錐P﹣ABC的體積最大時(shí)，△ABC為等腰直角三角形，P在面ABC上的射影為圓心O，過圓心O作OD⊥AB于D，連結(jié)PD，則∠PDO為二面角P﹣AB﹣C的平面角．

【解答】解：如圖所示：由已知得球的半徑為2，

AC為球O的直徑，當(dāng)三棱錐P﹣ABC的體積最大時(shí)，△ABC為等腰直角三角形，P在面ABC上的射影為圓心O，

過圓心O作OD⊥AB于D，連結(jié)PD，則∠PDO為二面角P﹣AB﹣C的平面角，

在△ABC△中，PO=2，OD=

BC=

，∴

，sinθ=

．

故選：C

=﹣4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（　?。?/p>

A．（﹣1，2）或（﹣1，﹣2）B．（1，2）或（1，﹣2）C．（1，2）D．（1，﹣2）

【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．

【分析】先求出拋物線的焦點(diǎn)F（1，0），根據(jù)拋物線的方程設(shè)A（

，y0），則

=（

，y0），

=（1﹣

，﹣y0），再由

=﹣4，可求得y0的值，最后可得答案．

【解答】解：x2+y2﹣6x+4y﹣3=0，可化為（x﹣3）2+（y+2）2=16，圓心坐標(biāo)為（3，﹣2），半徑為4，

∵拋物線M的準(zhǔn)線與曲線x2+y2﹣6x+4y﹣3=0只有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴3+

=4，∴p=2．

∴F（1，0），

設(shè)A（

，y0）

則

=（

，y0），

=（1﹣

，﹣y0），

由

=﹣4，∴y0=±2，∴A（1，±2）

故選B．

二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）

13．某校1000名高三學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)考試，這次考試考生的分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布N（90，σ2），若分?jǐn)?shù)在（70，110]內(nèi)的概率為0.7，估計(jì)這次考試分?jǐn)?shù)不超過70分的人數(shù)為　325　人．

【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．

【分析】利用正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性結(jié)合已知求得P（X≤70），乘以1000得答案．

【解答】解：由X服從正態(tài)分布N（90，σ2）（σ＞0），且P（70≤X≤110）=0.35，

得P（X≤70）=

（1﹣0.35）=

．

∴估計(jì)這次考試分?jǐn)?shù)不超過70分的人數(shù)為1000×

=325．

故答案為：325．

#p#分頁標(biāo)題#e#

14．過雙曲線

﹣

=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線的漸近線交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|≥

|CD|，則雙曲線離心率的取值范圍為　[

，+∞）　．

【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．

【分析】設(shè)出雙曲線的右焦點(diǎn)和漸近線方程，令x=c，聯(lián)立方程求出A，B，C，D的坐標(biāo)，結(jié)合距離關(guān)系和條件，運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，進(jìn)行求解即可．

【解答】解：設(shè)雙曲線

﹣

=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為（c，0），

當(dāng)x=c時(shí)代入雙曲線

﹣

=1得y=±

，則A（c，

），B（c，﹣

），

則AB=

，

將x=c代入y=±

x得y=±

，則C（c，

），D（c，﹣

），

則|CD|=

，

∵|AB|≥

|CD|，

∴

≥

，即b≥

c，

則b2=c2﹣a2≥

c2，

即

c2≥a2，

則e2=

≥

，

則e≥

．

故答案為：[

，+∞）．

15．計(jì)算

?。ㄓ脭?shù)字作答）

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．

【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)cos（﹣100°）=﹣sin10°，同角三角函數(shù)關(guān)系式1﹣sin10°=sin25°+cos25°﹣2sin5°cos5°代入化簡(jiǎn)．根據(jù)兩角和與差的公式可得答案．

【解答】解：由

．

故答案為：

．

16．已知f（x）=

，若f（x﹣1）＜f（2x+1），則x的取值范圍為　{x|x＞0，或x＜﹣2}　．

【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．

【分析】由題意可得f（x）為偶函數(shù)，f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．由不等式f（x﹣1）＜f（2x+1），可得|x﹣1|＜|2x+1|，由此求得x的范圍．

【解答】解：∵已知f（x）=

，

∴滿足f（﹣x）=f（x），且f（0）=0，故f（x）為偶函數(shù)，

f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．

若f（x﹣1）＜f（2x+1），則|x﹣1|＜|2x+1|，

∴（x﹣1）2＜（2x+1）2，即x2+2x＞0，∴x＞0，或x＜﹣2，

故答案為：{x|x＞0，或x＜﹣2}．

三、解答題（共5小題，滿分60分）

17．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=2anSn﹣2Sn2．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

#p#分頁標(biāo)題#e#

（2）是否存在正數(shù)k，使（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k

對(duì)一切正整數(shù)n都成立？若存在，求k的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由．

【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列遞推式．

【分析】（1）由數(shù)列的性質(zhì)對(duì)其經(jīng)行變形整理出可以判斷數(shù)列為等差數(shù)列的形式即可，求出Sn，再根據(jù)an=Sn﹣Sn﹣1，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，

（2）先構(gòu)造函數(shù)f（n）并判斷其單調(diào)性，然后再由函數(shù)的單調(diào)性解決函數(shù)恒成立的，求出參數(shù)k的取值范圍．

【解答】解：（1）∵當(dāng)n≥2時(shí)，an=2anSn﹣2Sn2，

∴an=

，n≥2，

∴（Sn﹣Sn﹣1）（2Sn﹣1）=2Sn2，

∴Sn﹣Sn﹣1=2SnSn﹣1，

∴

﹣

2，n≥2，

∴數(shù)列{

}是以

=1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，

∴

=1+2（n﹣1）=2n﹣1，

∴Sn=

，

∴n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=

﹣

=﹣

，

∵a1=S1=1，

∴an=

，

（2）設(shè)f（n）=

，

則

＞1，

∴f（n）在n∈N*上遞增，

要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，

∵f（n）min=f（1）=

，

∴0＜k≤

（1）求圖中x的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)比較甲乙兩校的合格率；

【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；莖葉圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列．

【分析】（1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)可得x，進(jìn)而定點(diǎn)甲校的合格率．由莖葉圖可得乙校的合格率．

#p#分頁標(biāo)題#e#

（2）甲乙兩校的C等級(jí)的學(xué)生數(shù)分別為：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．利用P（X=k）=

，即可得出．

【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．

甲校的合格率P1=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，

乙校的合格率P2=

=96%．

可得：甲乙兩校的合格率相同，都為96%．

（2）甲乙兩校的C等級(jí)的學(xué)生數(shù)分別為：0.012×10×50=6，4人．

X=0，1，2，3．

則P（X=k）=

，P（X=0）=

，P（X=1）=

，P（X=2）=

，P（X=3）=

．

∴X的分布列為：

X ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ?
P ?

E（X）=0+1×

+2×

+3×

．

19．如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面SBC，SB=SC，M是BC的中點(diǎn)，AB=1，BC=2．

（1）求證：AM⊥SD；

（2）若二面角B﹣SA﹣M的正弦值為

，求四棱錐S﹣ABCD的體積．

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；平面與平面垂直的性質(zhì)．

【分析】（1）推導(dǎo)出SM⊥BC，SM⊥AM，由勾股定理得AM⊥DM，從而AM⊥平面DMS，由此能證明AM⊥SD．

（2）以M為原點(diǎn)，MC為x軸，MS為y軸，過M作平面BCS的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出四棱錐S﹣ABCD的體積．

【解答】證明：（1）∵SB=SC，M是BC的中點(diǎn)，∴SM⊥BC，

∵平面ABCD⊥平面SBC，平面ABCD∩平面SBC=BC，

∴SM⊥平面ABCD，

∵AM?平面ABCD，∴SM⊥AM，

∵底面ABCD是矩形，M是BC的中點(diǎn)，AB=1，BC=2，

∴AM2=BM2=

，AD=2，

∴AM2+BM2=AD2，∴AM⊥DM，

∵SM∩DM=M，∴AM⊥平面DMS，

∵SD?平面DMS，∴AM⊥SD．

解：（2）∵SM⊥平面ABCD，∴以M為原點(diǎn)，MC為x軸，

MS為y軸，過M作平面BCS的垂線為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)SM=t，則M（0，0，0），B（﹣1，0，0），S（0，t，0），

A（﹣1，0，1），

=（0，0，1），

=（1，t，0），

=（﹣1，0，1），

=（0，t，0），

設(shè)平面ABS的法向量

=（x，y，z），

#p#分頁標(biāo)題#e#

則

，取x=1，得

=（1，﹣

，0），

設(shè)平面MAS的法向量

=（a，b，c），

則

，取a=1，得

=（1，0，1），

設(shè)二面角B﹣SA﹣M的平面角為θ，

∵二面角B﹣SA﹣M的正弦值為

，

∴sinθ=

，cosθ=

，

∴cosθ=

，解得t=

，

∵SM⊥平面ABCD，SM=

，

∴四棱錐S﹣ABCD的體積：

VS﹣ABCD=

．

20．已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在y軸上，離心率等于

，P是橢圓E上的點(diǎn)，以線段PF1為直徑的圓經(jīng)過F2，且9

=1．

（1）求橢圓E的方程；

（2）做直線l與橢圓E交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N，如果線段MN被直線2x+1=0平分，求l的傾斜角的取值范圍．

【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．

【分析】（1）由題意可知：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，c=

a，則利用橢圓的定義m+n=2a，勾股定理n2+（2c）2=m2，及向量數(shù)量積，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；

（2）假設(shè)存在直線l，設(shè)出方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合根的判別式，即可得到結(jié)論．

【解答】解：（1）由題意可知：設(shè)題意的方程：

（a＞b＞0），

，則c=

a，設(shè)丨PF1丨=m，丨PF2丨=n，

則m+n=2a，

線段PF1為直徑的圓經(jīng)過F2，則PF2⊥F1F2，

則n2+（2c）2=m2，

9m?n×cos∠F1PF2=1，由9n2=1，n=

，解得：a=3，c=

，

則b=

=1，

∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：

；

（2）假設(shè)存在直線l，依題意l交橢圓所得弦MN被x=﹣

平分，

∴直線l的斜率存在．

設(shè)直線l：y=kx+m，則

由

消去y，整理得（k2+9）x2+2kmx+m2﹣9=0

∵l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，

∴△=4k2m2﹣4（k2+9）（m2﹣9）＞0，即m2﹣k2﹣9＜0①

#p#分頁標(biāo)題#e#

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=﹣∴

=﹣

，∴m=

②

把②代入①式中得（

）2﹣（k2+9）＜0

∴k＞

或k＜﹣

，

∴直線l傾斜角α∈（

，

）∪（

，

）．

21．已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，實(shí)數(shù)a是常數(shù)，函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣1的定義域?yàn)椋?，+∞）．

（1）設(shè)a=e，求函數(shù)f（x）在切點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；

（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（3）設(shè)g（x）=ln（ex+

x3﹣1）﹣lnx，若?x＞0，f（g（x））＜f（x），求a的取值范圍．

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．

【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），求出切線方程即可；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（3）設(shè)F（x）=ex﹣x﹣1，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為x＞0時(shí)，ex+

x3﹣1＞x，設(shè)h（x）=xex﹣ex﹣

x3+1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定a的范圍即可．

【解答】解：（1）a=e時(shí)，f（x）=ex﹣ex﹣1，f（1）=﹣1，

f′（x）=ex﹣e，可得f′（1）=0，

故a=e時(shí)，函數(shù)f（x）在切點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是y=﹣1；

（2）f（x）=ex﹣ax﹣1，f′（x）=ex﹣a，

當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=ex﹣a=0，得x=lna，

則f（x）在（﹣∞，lna]上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增．

（3）設(shè)F（x）=ex﹣x﹣1，則F′（x）=ex﹣1，

∵x=0時(shí)，F(xiàn)′（x）=0，x＞0時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，

∴F（x）在[0，+∞）遞增，

∴x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）＞F（0），化簡(jiǎn)得：ex﹣1＞x，

∴x＞0時(shí)，ex+

x3﹣1＞x，

設(shè)h（x）=xex﹣ex﹣

x3+1，

則h′（x）=x（ex﹣ex），

設(shè)H（x）=ex﹣ex，H′（x）=ex﹣e，

由H′（x）=0，得x=1時(shí)，H′（x）＞0，

x＜1時(shí)，H′（x）＜0，

∴x＞0時(shí)，H（x）的最小值是H（1），

x＞0時(shí)，H（x）≥H（1），即H（x）≥0，

∴h′（x）≥0，可知函數(shù)h（x）在（0，+∞）遞增，

∴h（x）＞h（0）=0，化簡(jiǎn)得ex+

x3﹣1＜xex，

∴x＞0時(shí)，x＜ex+

x3﹣1＜xex，

∴x＞0時(shí)，lnx＜ln（ex+

x3﹣1）＜lnx+x，

即0＜ln（ex+

x3﹣1）﹣lnx＜x，

即x＞0時(shí)，0＜g（x）＜x，

當(dāng)a≤1時(shí)，由（2）得f（x）在（0，+∞）遞增，

得f（g（x））＜f（x）滿足條件，

當(dāng)a＞1時(shí)，由（2）得f（x）在（0，lna）遞減，

∴0＜x≤lna時(shí)，f（g（x））＞f（x），與已知?x＞0，f（g（x））＜f（x）矛盾，

綜上，a的范圍是（﹣∞，1]．

[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講]

22．已知直線L的參數(shù)方程為

（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=

．

（Ⅰ）直接寫出直線L的極坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；

#p#分頁標(biāo)題#e#

（Ⅱ）過曲線C上任意一點(diǎn)P作與L夾角為

的直線l，設(shè)直線l與直線L的交點(diǎn)為A，求|PA|的最大值．

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．

【分析】（Ⅰ）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可寫出直線L的極坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；

（Ⅱ）曲線C上任意一點(diǎn)P（cosθ，2sinθ）到l的距離為d=

|2cosθ+2sinθ﹣6|．則|PA|=

sin（θ+45°）﹣6|，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出最值．

【解答】解：（Ⅰ）直線L的參數(shù)方程為

（t為參數(shù)），普通方程為2x+y﹣6=0，極坐標(biāo)方程為2ρcosθ+ρsinθ﹣6=0，

曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=

，即ρ2+3ρ2cos2θ=4，曲線C的普通方程為

=1；

（Ⅱ）曲線C上任意一點(diǎn)P（cosθ，2sinθ）到l的距離為d=

|2cosθ+2sinθ﹣6|．

則|PA|=

sin（θ+45°）﹣6|，

當(dāng)sin（θ+45°）=﹣1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為

．

[選修4-5：不等式選講]

23．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R．

（Ⅰ）當(dāng)a=5時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）＞9；

（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集為A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【考點(diǎn)】絕對(duì)值三角不等式；絕對(duì)值不等式的解法．

【分析】（Ⅰ）當(dāng)a=5，把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．

（Ⅱ）由題意可得B?A，區(qū)間B的端點(diǎn)在集合A中，由此求得a的范圍．

【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=5時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，

故有

①；或

②；或

③．

解①求得x＜﹣6；解②求得x∈?，解③求得x＞3．

綜上可得，原不等式的解集為{x|x＜﹣6，或x＞3}．

（Ⅱ）設(shè)關(guān)于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集為A，

B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2}，如果A∪B=A，則B?A，

∴

，即

，求得﹣1≤a≤0，

故實(shí)數(shù)a的范圍為[﹣1，0]．

一级国产精品免费观看|免费国产午夜视频在线观看|久久逼国产2020|午夜性色福利小视频

2024年云南單招理科數(shù)學(xué)模擬試題（一）「含答案」

相關(guān)文章

熱門

推薦

隨機(jī)

標(biāo)簽

一级国产精品免费观看|免费国产午夜视频在线观看|久久逼国产2020|午夜性色福利小视频

2024年云南單招理科數(shù)學(xué)模擬試題（一）「含答案」

相關(guān)文章

熱門

推薦

隨機(jī)

標(biāo)簽

微信掃一掃打賞